Funktionalanalysis, LSF, 010758
Section outline
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Willkommen zu der Vorlesung Funktionalanalysis!
In den jeweiligen Rubriken unten finden Sie alle wichtigen Informationen rund um die Veranstaltung. Dies beinhaltet insbesondere den Ablauf des Vorlesungs- und Übungsbetriebs, die Kriterien zum Erwerben der Studienleistung (Klausurzulassung), Klausurinformationen, Gruppenwahl und Vorlesungsmaterial wie z.B. Übungsblätter. Lesen Sie sich diese Informationen bitte aufmerksam durch. Beachten Sie außerdem, dass die Informationen in den kommenden Wochen noch nach und nach aktualisiert werden.
Wichtige Informationen zur Anmeldung
Melden Sie sich bitte unbedingt mit Ihrem Uni-Account im LSF der TU Dortmund an und belegen Sie dort die Vorlesung Funktionalanalysis (Direktlink zur Vorlesung im LSF hier).
Nach einer kleinen Wartezeit (unter Umständen bis zu zwei Stunden) werden Sie dann automatisch für die Kursseite in Moodle freigeschaltet, auf die Sie nun von Ihrer Moodle-Startseite aus zugreifen können; dafür müssen Sie sich gegebenenfalls noch einmal mit Ihrem Uni-Account in Moodle einloggen.
Beachten Sie bitte, dass Sie ohne Belegung der Vorlesung im LSF nur lesenden Zugriff auf die Kursseite in Moodle erhalten und keine personenspezifische Funktionalität der Seite wie z.B. die Übungsgruppenwahl nutzen können. Daher ist die Belegung der Vorlesung im LSF zum Erwerb der Studienleistung unverzichtbar.
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Modulbeschreibung MAT-303 im Modulhandbuch
Die Veranstaltung umfasst 4 Wochenstunden Vorlesung und 2 Wochenstunden Übung (4 V + 2 Ü). Beide Veranstaltungen zusammen bilden ein Modul mit 9 Leistungspunkten.
Dozent der Vorlesung
Vorlesungstermine Raum Tag Zeit M/E19 Mittwoch 16:00 – 18:00 M/E28 Donnerstag 14:00 – 16:00 Am 24.05.2023 findet die Vorlesung in EF50 im HS2 statt.
Was soll ich mir unter Funktionalanalysis vorstellen?
Es hat sich etabliert, dass der Begriff Funktionalanalysis für lineare Funktionalanalysis steht, und diesem Gebiet widmet sich die Vorlesung. (Andernfalls spricht man explizit von nicht-linearer Funktionalanalysis.)
Jeder von Ihnen hat die Vorlesungen Lineare Algebra und Analysis gehört.
Die Lineare Algebra beschäftigt sich mit algebraischen Strukturen. Einen prominenten Platz nehmen Abbildungen ein, insbesondere lineare und affin-lineare, deren strukturelle Eigenschaften ebenfalls untersucht werden.
Für die Analysis sind die Begriffe Limes, stetig, differenzierbar zentral. Dafür müssen wir einen Abstandsbegriff zu Verfügung haben, der sich insbesondere dann ergibt, dass wir einen Vektorraum mit einer Norm ausstatten. Spätestens in der Vorlesung Analysis II wird klar, dass Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass sie sich lokal näherungsweise wie eine affin-lineare Abbildung verhält. Insbesondere ist jede affin-lineare Abbildung differenzierbar und besitzt eine Taylor-Entwicklung mit nur zwei Termen. Ab diesem Punkt können wir uns vorher in der Linearen Algebra untersuchte Eigenschaften von linearen Abbildungen zu Nutze machen.
Dagegen sieht es bei der Linearen Algebra zunächst so aus, als ob sie kaum Strukturen aus der Analysis benötigt (zumindest, wenn man sich auf endlich-dimensionale Vektorräume beschränkt).
Bei genauerem Hinschauen ändert sich dieser Eindruck: Eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen normierten Räumen ist Lipschitz-stetig. Bei Anwendungen interessiert uns insbesondere die Lipschitz-Konstante einer solchen Abbildung. Es stellt sich heraus, dass dies die Matrix-Norm ist. Also sind alle linearen Abbildungen stetig, aber nicht in gleichem Maße. Dies spielt z.B. in der Numerik eine Rolle.
Fundamentaler ist die Frage, wie es bei linearen Abbildungen auf unendlich-dimensionalen normierten Vektorräumen aussieht. In der Tat müssen diese gar nicht stetig sein! Der Grund liegt darin, dass eine lineare Abbildung auf einem Vektorraum mit unendlich vielen Richtungen sich in jeder von diesen unterschiedlich verhalten kann.
In der Tat wird die Vielfältigkeit unendlich-dimensionaler Vektorräume deutlich, auch wenn man noch keine Abbildungen darauf betrachtet. Nach dem Satz von Heine-Borel ist eine Teilmenge des R^d genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Diese Aussage gilt in unendlich-dimensionalen normierten Räumen nicht. In diesem sind kompakte Teilmengen viel komplizierter, aber daher viel reichhaltiger und viel interessanter.
Ganz grob kann man sich die Funktionalanalysis als die Synthese von Linearer Algebra und Analysis beim Studium unendlich-dimensionaler Vektorräume vorstellen.
Warum soll man sich das Leben schwermachen und unendlich-dimensionale Vektorräume studieren? Weil Funktionenräume unendlich-dimensional sind und in vielen Teilgebieten der Mathematik und deren Anwendungen auftreten. Funktionalanalytische Sachverhalte sind insbesondere in partiellen Differentialgleichungen, der Fourier-Analysis, der Approximationstheorie, der Funktionentheorie, der kontinuierlichen Optimierung und in höheren Stochastik-Vorlesungen nützlich.
Literatur
- Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer, [ub]
- Winfried Kaballo: Grundkurs Funktionalanalysis, Springer, [ub]
Als Ergänzung bieten sich zudem auch folgende Bücher an:- Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner, [ub]
- Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen, Teubner, [ub]
- Walter Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill, [ub]
- Barry Simon: Operator Theory, AMS, [ub] (Teil 4 eines 4-bändigen Analysiskurses)
Folgeveranstaltung
Es ist geplant, aufbauend auf dieser Vorlesung im Wintersemester 2023/24 das Modul Funktionalanalysis II MAT-605 anzubieten.
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Studienleistung
Die Modulprüfung erfolgt in Form einer mündlichen Prüfung. Die Einzelheiten hierzu werden später bekannt gegeben.Zulassungsvoraussetzung für die Teilnahme an der Modulabschlussprüfung ist eine bestandene Studienleistung.
Der Erwerb der Studienleistung erfolgt durch die erfolgreiche Bearbeitung wöchentlicher Hausaufgaben (mindestens 50% der Gesamtpunkte aller Übungsblätter) sowie zweimal Vorrechnen in der Übung.Modulprüfung
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Es gibt wöchentliche Hausaufgaben in Form von Übungsblättern, die weiter unten in den jeweiligen Wochenabschnitten zur Verfügung gestellt werden. Diese dürfen Sie in festen Gruppen von bis zu zwei Leuten bearbeiten. Die Abgabe Ihrer dazugehörigen Lösungen erfolgt online über Moodle, wobei als Dateiformat ausschließlich PDF zugelassen ist.
Jede Person, die in einer (Teil-)Aufgabe Punkte erworben hat, muss imstande sein, die Lösung dieser (Teil-)Aufgabe in der Übungsgrupe vorzustellen.
Übungstermin
Mo 14-16 Uhr, M/336
Die Übungsleitung übernimmt Dr. Albrecht Seelmann.